Lições de Matemática I

Formação e Estruturação dos Números

     Nesta primeira lição estudaremos nosso primeiro teorema. Para tanto, vale adiantar alguns breves conceitos matemáticos antes de nos aprofundarmos no estudo:

Axioma: princípio básico dogmático que não exige demonstração.

Teorema: fato que possui demonstração.

Demonstração: explicação baseada em axiomas que comprova o teorema.

Cada conceito desse será melhor apresentado em nossas próximas aulas. Cumpre exemplificar:

Todo conjunto não-vazio formado por números naturais possui um menor elemento, que é menor ou igual a todos os outros” (axioma)

Se a é um número natural par, a² também é” (teorema)

     Assim, um axioma não possui uma demonstração própria; ele é simplesmente aceito como é.

     Prossigamos. Cumpre-nos nesta primeira lição entender como se formam os números. Já é sabido pelo leitor a diferença entre os conceitos de algarismo e número. No princípio do nosso sistema de contagem (que surgiu por uma necessidade de controle de situações), contávamos por unidade. Assim, um pastor de ovelhas poderia contá-las separando-as em dois grupos: um grupo vazio e outro com todas as suas ovelhas. A cada ovelha que passava do grupo completo (GC) para o grupo vazio (GV), uma ovelha era adicionada ao GV e uma ovelha era removida do GC. E assim prosseguia até que o GC estivesse vazio e o GV, completo. Dessa forma, o pastor faria a contagem: um, dois, três, quatro, cinco, seis e assim por diante. Contudo, surge-nos um problema: como agrupar esses números? A princípio, essa questão não é evidente, mas mostraremos como ela apareceria ao pastor de ovelhas.

     Imagine que esse pastor desejasse representar a quantidade de ovelhas em alguma pedra. Ele poderia desenhar cada ovelha; contudo, esse trabalho seria absolutamente ineficiente com grandes quantidades do animal. O pastor decide, então, criar símbolos para representar a quantidade. Assim, uma ovelha seria representada por “1”, duas ovelhas por “2”, três ovelhas “3”, quatro ovelhas por “4”, cinco por “5” etc. Contudo, e se esse pastor possuísse cento e cinquenta ovelhas? Como representar esse número? O nosso pastor teria que criar um símbolo para cada quantidade. Hoje sabemos que os números são infinitos, logo, suas representações também são. Criar um símbolo para cada quantidade é um trabalho infinito, desgastante e demanda muito esforço intelectual. Surgiu então a ideia de agrupar quantidades para formar novas quantidades. As quantidades menores seriam os algarismos; a maiores, os números. Isso permite uma boa legibilidade e um leque de possibilidade muito maior. No nosso sistema de numeração ocidental, agrupamos os números a partir de dez algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Mas e se nossa quantidade for dez? Então, agrupamos o primeiro valor real, 1 (o 0 não pode ser utilizado pois não possui valor), e concatenamos com o menor algarismo, 0. Assim, temos o número 10. Se quisermos o próximo, mantemos o primeiro valor real e procuramos pelo próximo algarismo. Assim, temos o número 11. Embora isso pareça óbvio, será fundamental para nosso objetivo. Assim, os números são formados pela permutação entre esses 10 algarismos (0 – 9):

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …, 34, 35, 36, 37, 38, …, 101, 102, 103, 104, 105, …, 1004, 1005, 1006, …

     Sendo formado por 10 algarismos, chamamos esse sistema de decimal. Simplificando o que dissemos, cada algarismo possui um valor diferente que depende da sua posição no número. Por exemplo, no número 1364, o número 4 vale menos que o número 6, que vale menos que o número 3, que por sua vez vale menos que o 1. Isso porque agora não importam os algarismos em si, mas os valores que eles obtiveram. Observando bem cada número, podemos facilmente inferir que cada algarismo equivale ao produto do algarismo em si pelo seu valor. Como estamos usando o sistema decimal, esse valor possui base 10. Observe o que dizemos:

1 = 1 × 10º

23 = 2 × 10¹ + 3 × 10º

471 = 4 × 10² + 7 × 10¹ + 1 × 10º

     Assim, o número XYZ (cada letra representa um algarismo), pode ser descrito como X × 10² + Y × 10¹ + Z × 10º. A potência do número 10 dependerá da posição que o algarismo ocupa no número da direita para esquerda. Assim, a primeira posição equivale à posição 0, a segunda à 1, a terceira à 2, a quarta à 3 e assim por diante.

      Porém, vamos fazer mais uma suposição. Imagine que só temos oito algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Qual será o próximo número? Utilizando por base o que já aprendemos, tomamos os menores valores e temos o número 10. Logo após, o 11, 12, 13, 14, 15, 16 e 17. Qual o próximo número? O 20, pois não possuímos os algarismo 8 e 9. Logo, eles não são úteis para nossa contagem. Esse sistema de contagem existe e é chamado octal.

      Assim, até agora entedemos 2 sistemas de contagem/numeração: decimal e octal. Coloquemos em comparação:

Base Decimal / Base Octal

1 = 1

2 = 2

3 = 3

4 = 4

5 = 5

6 = 6

7 = 7

8 = 10

9 = 11

10 = 12

11 = 13

12 = 14

13 = 15

     Vocês provavelmente já notou a questão: o sistema decimal sempre está atrasado em relação  ao octal. Guarde o leitor essa informação, será necessária em breve.

     Agora vejamos: no sistema octal também podemos decompor os números conforme os valores de seus algarismo, mas ao invés de usarmos a base 10, usaremos a base 8, pois é essa a quantidade de algarismos que temos. Assim, XYZ no sistema octal equivale a X × 8² + Y × 8¹ + Z × 8º.

     A partir de tudo isso que você aprendeu, podemos formar um teorema, ou seja, uma proposição geral que valha para qualquer sistema de numeração. O resultado dessa proposição sempre será expressa em um valor decimal, pois as próprias operação efetuadas pressupõem esse sistema. Assim, se lançarmos o número 1042 na base octal [indicaremos essa base por “(8)”, bem como a base decimal por “(10)”], essa proposição nos retornará o número 546 (10). Essa proposição será:

 

      Sobre essa proposição que encontramos, trataremos na próxima aula. Aconselhamos o aluno a revisar o conteúdo de Somatório.