Demonstração da Propriedade Arquimediana

Vamos provar que a Propriedade Arquimediana (P.A) é válida para os números inteiros positivos. Vale lembrar que a P.A nos diz que nenhum conjunto possui números infinitamente grandes ou pequenos. Em outras palavras, em um conjunto A, para cada b ∈ A, existe pelo menos um n, tal que, a ∙ n > b, onde a ∈ A, isto é, sempre existirá um número maior que um determinado número que está dentro de um conjunto, impedindo que esse conjunto possua um número infinitamente grande.

Vamos provar que essa propriedade é válida para os números inteiros positivos. Para isso, vamos precisar do Princípio da Boa Ordem, que nos diz que todo conjunto não-vazio de inteiros não-negativos possui um elemento mínimo.

Consideremos a e b número inteiros positivos. A P.A nos garante que existe um n inteiro positivo tal que n ∙ a > b. Provemos por contradição:

Suponhamos o oposto do que a propriedade nos diz, isto é, b ≤ n ∙ a. Isto equivale a dizer que há um conjunto S tal que:

S = {b − n ∙ a | n ∈ Z, n > 0}

Pelo Princípio da Boa Ordem, sabemos que existe um m = min S, que é o menor elemento de S. Esse elemento é da forma m = b − i ∙ a. Agora consideremos um número m′ = b − (i + 1) ∙ a. Logo:

m′ = b − (ai + a)
m′ = (b − ai) + a
m′ = m + a

Logo, como a > 0:

m′ < m

Isso é uma contradição, pois sabemos que m = min S, então não pode haver um elemento que seja menor que ele e pertencente ao conjunto A. Logo, só pode ser o caso que P.A vale para os números inteiros positivos.